Question

已知函數(shù)．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線6x+y+1=0平行，求出這條切線的方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求：
①討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②對(duì)任意的x＜-1，恒有f（x）＜1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=ax²+x-a+1，得切線斜率為k=f'（2）=3a+3---------（2分）
據(jù)題設(shè)，k=-6，所以a=-3，故有f（2）=3----------------------------（3分）
所以切線方程為y-f（2）=-6（x-2），即6x+y-15=0------------------------（4分）
（2）①
若，則，可知函數(shù)f（x）的增區(qū)間為和（-1，+∞），減區(qū)間為-----------------（6分）
若，則，可知函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）；------------（7分）
若，則，可知函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1）和，減區(qū)間為-------------------------------------（9分）
②當(dāng)時(shí)，據(jù)①知函數(shù)f（x）在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
所以，當(dāng)x＜-1時(shí)，，故只需，即
顯然a≠1，變形為，即，解得---------（11分）
當(dāng)時(shí)，據(jù)①知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上遞增，則有
只需，解得．----------（13分）
綜上，正實(shí)數(shù)a的取值范圍是--------------------------------------------（14分）
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，從而可求切線的方程；
（2）①求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②分類討論，求得函數(shù)的最大值，根據(jù)對(duì)任意的x＜-1，恒有f（x）_max＜1，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問題，屬于中檔題．