Question

如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB=4．
（Ⅰ）證明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）求點P到平面QAD的距離．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O．證明PQ⊥平面ABCD，只需說明P、O、Q三點在一條直線上，QO⊥平面ABCD即可；
（Ⅱ）直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，通過cos＜

AQ

，

PB

＞=

AQ • PB

| AQ |•| PB |

，求異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）設(shè)

n

=(x，y，z)是平面QAD的一個法向量，利用d=

| PQ • n |

| n |

，求點P到平面QAD的距離．
法二：（Ⅰ）．取AD的中點M，連接PM，QM．要證PQ垂直平面ABCD，只需證明PQ垂直平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AD，AB即可．
（Ⅱ）．連接AC、BD設(shè)AC∩BD=O，．∠BPN（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角，利用余弦定理解三角形BPN，求出異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、過P作PH⊥QM于H，則PH⊥平面QAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離．解三角形PHQ即可．

解答：解法一：（Ⅰ）連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O．由P-ABCD與Q-ABCD
都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD，
故可以分別以直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標分別是P（0，0，1），Q（0，0，-2），B(0，2

2

，0)
所以

AQ

=(-2

2

，0，-2)，

PB

=(0，2

2

，-1)，
于是cos＜

AQ

，

PB

＞=

AQ • PB

| AQ |•| PB |

=

3

9

．
從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos

3

9

．
（Ⅲ）．由（Ⅱ），點D的坐標是（0，-2

2

，0），

AD

=(-2

2

，-2

2

，0)，

PQ

=(0，0，-3)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面QAD的一個法向量，
由

n • AQ =0 n • AD =0

得

2 x+z=0 x+y=0

．
取x=1，得

n

=(1，-1，-

2

)．
所以點P到平面QAD的距離d=

| PQ • n |

| n |

=

3 2

2

．
解法二：（Ⅰ）．取AD的中點M，連接PM，QM．
因為P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，
所以AD⊥PM，AD⊥QM．從而AD⊥平面PQM．
又PQ?平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，
所以PQ⊥平面ABCD、
（Ⅱ）．連接AC、BD設(shè)AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在
PQ上，從而P、A、Q、C四點共面．
取OC的中點N，連接PN．
因為

PO

OQ

=

1

2

，

NO

OA

=

NO

OC

=

1

2

，
所以

PO

OQ

=

NO

OA

，
從而AQ∥PN．∠BPN（或其補角）是異面直線AQ
與PB所成的角．連接BN，
因為PB=

OB2+OP2

=

(2 2 )2+1

=3．PN=

ON2+OP2

=

( 2 )2+1

=

3

BN=

OB2+ON2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

所以cos∠BPN=

PB2+PN2-BN2

2PB•PN

=

9+3-10

2×3× 3

=

3

9

．
從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos

3

9

．
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、過P作PH⊥QM
于H，則PH⊥平面QAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離．
連接OM，則OM=

1

2

AB=2=OQ．
所以∠MQP=45°，
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=

3 2

2

．
即點P到平面QAD的距離是

3 2

2

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．