Question

有共同底邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為（　�。�

• A．0
• B．

  1

  2

• C．

  1

  4

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明AO⊥BC⊥OD，從而建立空間直角坐標(biāo)系，再分別寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及

AB

，

CD

的坐標(biāo)，最后由夾角公式計(jì)算異面直線AB和CD所成角的余弦值即可

解答：解：如圖：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2．
∵等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直
∴取BC中點(diǎn)O，則AO⊥BC⊥OD
以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，

3

），B（0，-1，0），C（0，1，0），D（

3

，0，0）
∴

AB

=（0，-1，-

3

），

CD

=（

3

，-1，0）
∴cos＜

AB

，

CD

＞=

AB • CD

| AB || CD |

=

1

2×2

=

1

4

∴異面直線AB和CD所成角的余弦值

1

4

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用空間直角坐標(biāo)系求異面直線所成的角的方法，將空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題的思想方法