Question

已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x³+ax，g(x)=x²+bx，f′(x)和g′(x)是f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間I上單調(diào)性一致，
（1）設(shè)a＞0，若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[-1，+∞)上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)a＜0且a≠b，若函數(shù)f(x)和g(x)在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值。

Answer 1

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[-1，+∞)上單調(diào)性一致，
所以，
即，
∵a＞0，
∴，
即∵a＞0，
∴，
∴b≥2；
（2）當(dāng)b＜a時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和g(x)在區(qū)間（b，a）上單調(diào)性一致，
所以，，
即，
，
∴，
∴，
∴，
設(shè)z=a-b，考慮點(diǎn)(b，a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點(diǎn)設(shè)為，
則，
∴；
當(dāng)a＜b＜0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和g(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)性一致，
所以，
即，
∵b＜0，∴，
∴，∴，
∴，∴；
當(dāng)a＜0＜b時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和g(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)性一致，
所以，
即，
∵b＞0，而x=0時(shí)，不符合題意；
當(dāng)a＜0=b時(shí)，由題意：，
∴，∴，
∴，∴；
綜上可知，。