Question

如圖，橢圓C：（a＞b＞0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1），橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）過（1，0）點(diǎn)的直線L與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（A′與B不重合），求證直線A′B與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)，求此點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵橢圓C：（a＞b＞0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1），橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，
∴
∵b²=a²-c²
∴
∴a=2
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（x₁，-y₁），
直線AB的方程代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-8k²x+k²-4=0
∴x₁+x₂=，
又直線A′B的方程為y-y₂=（x-x₂）
令y=0可得x====4
∴直線A′B與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)，坐標(biāo)為（4，0）．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：（a＞b＞0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1），橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，建立方程組，結(jié)合b²=a²-c²，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，直線AB的方程，代入橢圓方程，可得直線A′B的方程，利用韋達(dá)定理，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．