Question

已知函數(shù)，

（1）判斷的奇偶性并說明理由；

（2）當(dāng)時，判斷在上的單調(diào)性并用定義證明；

（3）當(dāng)時，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）當(dāng)時，為偶函數(shù)，當(dāng)時，無奇偶性；（2）在上遞減；（3）.

【解析】

試題分析：（1）對于含有參數(shù)的函數(shù)要想到分情況討論，當(dāng)時，為偶函數(shù)，當(dāng)時，由于且，所以無奇偶性.（2）通過用定義證明函數(shù)單調(diào)性，取兩個數(shù)，使，然后證明出，得到在上遞減.（3）恒成立等價于函數(shù)的最小值大于，只要求出的最小值，再解出不等式就可以得到實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時，（），由于，所以為偶函數(shù) 2分

當(dāng)時，由于且，所以無奇偶性.

綜上：當(dāng)時，為偶函數(shù)；當(dāng)時，無奇偶性. 5分

當(dāng)時，，

任取兩個數(shù)，使，則

，，，，，

，所以在區(qū)間上是遞減. 9分

（3）由題意可知：原題等價于，

由（2）知在區(qū)間上是遞減，同樣用定義法可證明在區(qū)間上是遞增的，

所以在處取得最小值，， 12分

所以原不等式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011706085090067566/SYS201501170610147631384844_DA/SYS201501170610147631384844_DA.035.png">，即，

令，則不等式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011706085090067566/SYS201501170610147631384844_DA/SYS201501170610147631384844_DA.038.png">，解得，故，即，解得,所以實數(shù)的取值范圍是. 16分

考點：1、函數(shù)的奇偶性.2、函數(shù)的單調(diào)性.3、函數(shù)在區(qū)間上最值問題.4、用換元法解不等式.