Question

函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x的最大值為3．
（1）求實數(shù)a的值；　　　　　　　　　
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x
=asin2x+cos2x+1
=sin（2x+φ）+1，…（2分）
因為函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x的最大值為3，
∴，解得a=； …（4分）
（2）當a=時，函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
由2kπ-≤2kπ+≤2k，得，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z…（7分）
當a=-時，函數(shù)f（x）=-sin2x+cos2x+1
=2scos（2x+）+1，
由，得，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z…（10分）
分析：（1）通過輔助角公式，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的最大值求出a．
（2）分別通過a的值，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．
點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．