Question

已知點P（x₀，y₀）在拋物線y=

2x+3

的圖象上，過點P（x₀，y₀）作拋物線的切線l．
（1）若切線l的傾斜角為α，且α∈（0，

π

4

]，求x₀的范圍；
（2）若切線l過點（-2，0），求點P（x₀，y₀）的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知中點P（x₀，y₀）在拋物線y=

2x+3

的圖象上，求導(dǎo)可得過點P（x₀，y₀）作拋物線的切線l的斜率，由切線l的傾斜角為α，且α∈（0，

π

4

]，可得切線l的斜率

1

2x0+3

∈（0，1]，進(jìn)而可得x₀的范圍；
（2）過點P（x₀，y₀）的拋物線的切線l的方程為：y-

2x0+3

=

1

2x0+3

（x-x₀），結(jié)合切線l過點（-2，0），可求點P（x₀，y₀）的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵y=

2x+3

=(2x+3)

1

2

，
∴y′=

1

2x+3

，
若切線l的傾斜角為α，且α∈（0，

π

4

]，
則y′∈（0，1]，即

1

2x0+3

∈（0，1]，
∴

2x0+3

≥1，
∴2x₀+3≥1，
∴x₀≥-1，
即x₀的范圍為x₀≥-1；
（2）過點P（x₀，y₀）的拋物線的切線l的方程為：y-

2x0+3

=

1

2x0+3

（x-x₀），
∵切線l過點（-2，0），
∴-

2x0+3

=

1

2x0+3

（-2-x₀），
解得：x₀=-1，y₀=1，
即點P（x₀，y₀）的坐標(biāo)為（-1，1）

點評：本題考查的知識點是曲線過定點的切線方程，是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，難度中檔．