Question

已知數(shù)列{a_n}　的通項a_n=n，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個2（如在a₁與a₂之間插入3⁰個2，a₂與a₃之間插入3¹個2，a₃與a₄之間插入3²個2，…，依此類推），得到一個新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，則S₁₂₀=________．

Answer 1

245
分析：先計算d₁₂₀在數(shù)列{a_n}中處于哪個位置，辦法是設(shè)其處于k和k+1之間，則求出1+3+3²+3³+3^k-1+（k+1）≥120時的k的最小值，再進一步容易得到d₁₂₀的準確位置，再求和就容易了
解答：依題意，設(shè)d₁₂₀在數(shù)列{a_n}中處于a_k與a_k+1之間，即處于k和k+1之間，
由1+3+3²+3³+3^k-1+（k+1）≥120 得 k≥5
k=5時，數(shù)列{d_n}共有127項
∴d₁₂₀在數(shù)列中處于5與6之間的第3^5-1-6=75個2處
∴S₁₂₀=1+2+3+4+5+2×（1+3+3²+3³+75）=245
故答案為245
點評：本題考查了等差等比數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，特別注重觀察數(shù)列的規(guī)律，考查了歸納推理能力．