Question

已知數(shù)列{a_n}滿足2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)，求{b_n}的前項(xiàng)和．

Answer 1

解（1）∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，
2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，
∴2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1
∴當(dāng)n≥2時，，
又n=1時 2a₁=4¹-1得a₁=3/2，
∴（6分）
（2）∵（9分）
故{b_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴．（12分）
分析：（1）由2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，知2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1，當(dāng)n≥2時，，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)．
（2）由，由此能求出{b_n}的前項(xiàng)和．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和前n項(xiàng)和的計(jì)算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．