Question

已知直線l：3x+4y+m=0平分圓x²+y²-14x+10y+74-m²-n²=0的面積，且直線l與圓x²+y²-2x-4y+5-n=0相切，則m+n=

3

．

Answer 1

分析：由直線l平分圓的面積，得到直線l過圓心，將圓的方程x²+y²-14x+10y+74-m²-n²=0化為標準方程，找出圓心坐標與半徑，把圓心坐標代入直線l方程中求出m的值，確定出直線l，再由直線l與圓x²+y²-2x-4y+5-n=0相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式求出n的值，即可確定出m+n的值．

解答：解：圓x²+y²-14x+10y+74-m²-n²=0化為方程得：（x-7）²+（y+5）²=m²+n²，
將圓心（7，-5）代入直線l得：21-20+m=0，
解得：m=-1，
∴直線l解析式為3x+4y-1=0，
∵直線l與圓x²+y²-2x-4y+5-n=0，即（x-1）²+（y-2）²=n相切，
∴圓心（1，2）到直線l的距離d=r，即

3+8-1

5

=

n

，
解得：n=4，
則m+n=-1+4=3．
故答案為：3

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．