Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，若存在g（x）使得g（x）≤f（x）恒成立，則稱g（x）是f（x）的一個(gè)“下界函數(shù)”．
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）=

t

x

-lnx（t為實(shí)數(shù)）為f（x）的一個(gè)“下界函數(shù)”，求t的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

，試問(wèn)函數(shù)F（x）是否存在零點(diǎn)，若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)g（x）≤f（x）恒成立，得到h（x）=2xlnx，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)的思想，得到t的取值范圍．
（II）由（I）知，2xlnx≥-

2

e

，整理成lnx≥-

1

ex

，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，做出函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，兩個(gè)最小值放在一起得到要求的結(jié)果，注意兩個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)取得．

解答：解：（Ⅰ）

t

x

-lnx≤lnx恒成立，
∵x＞0，t≤2xlnx
令h（x）=2xlnx，則h′（x）=2（1+lnx）
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在(0，

1

e

)上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)，h′（x）＞0，h（x）在上(

1

e

，+∞)是增函數(shù)，
∴函數(shù)的最小值是-

2

e

，
∴t≤-

2

e

，
（Ⅱ）由（I）知，2xlnx≥-

2

e

，
∴l(xiāng)nx≥-

1

ex

F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

①，
∴F（x）≥

1

ex

-

1

ex

=

1

x

(

1

e

-

x

ex

)
令G（x）=

1

e

-

x

ex

，則G′（x）=e^-x（x-1）
則x∈（0，1）時(shí)，G（x）是減函數(shù)，
x∈（1，+∞）時(shí)，G（x）是增函數(shù)，
∴G（x）≥G（1）=0②，
∴F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

≥

1

x

(

1

e

-

x

ex

)≥0，
∵①②中等號(hào)取到的條件不同，
∴F（x）＞0，即函數(shù)F（x）不存在零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值的求法，利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，本題是一個(gè)綜合題目，可以作為高考卷的壓軸題目，注意本題對(duì)于新定義的理解是解題的關(guān)鍵．