已知f(x)=ax2+bx,若1≤f(1)≤3,-1≤f(-1)≤1,則f(2)的取值范圍是
[2,10]
[2,10]
分析:根據(jù)題意,設f(2)=λf(1)+μf(-1),結合題中函數(shù)關系式建立關于λ、μ的方程組解出λ=3且μ=1,從而得到f(2)=3f(1)+f(-1),最后利用不等式的基本性質(zhì)將同向不等式相加,即得f(2)的取值范圍.
解答:解:∵f(x)=ax2+bx,∴f(1)=a+b,f(-1)=a-b,f(2)=4a+2b
設f(2)=λf(1)+μf(-1),則
4=λ+μ
2=λ-μ
,解之得λ=3且μ=1,即f(2)=3f(1)+f(-1),
∵1≤f(1)≤3,∴3≤3f(1)≤9…①
又∵-1≤f(-1)≤1,…②
∴不等式①②相加,得2≤3f(1)+f(-1)≤10,即2≤f(2)≤10
故f(2)的取值范圍是[2,10]
故答案為:[2,10]
點評:本題給出二次函數(shù)在已知f(1)、f(-1)的范圍性質(zhì)下求f(2)的范圍.著重考查了不等式的基本性質(zhì)和簡單的性質(zhì)規(guī)劃等知識,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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例2:已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過點(-1,0),是否存在常數(shù)a、b、c,使不等式x≤f(x)≤
x2+12
對一切實數(shù)x都成立?

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已知f(x)=ax2-blnx+2x(a>0,b>0)在區(qū)間(
1
2
,1)
上不單調(diào),則
3b-2
3a+2
的取值范圍是( 。

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已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),g(x)=f[f(x)]
①若f(x)無零點,則g(x)>0對?x∈R成立;
②若f(x)有且只有一個零點,則g(x)必有兩個零點;
③若方程f(x)=0有兩個不等實根,則方程g(x)=0不可能無解
其中真命題的個數(shù)是(  )

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已知f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0),則f(3),f(-3),f(
3
2
)從小到大的順序是
f(-3)<f(3)<f(
3
2
f(-3)<f(3)<f(
3
2

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