Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜1\\（7-a）x-4a，x≥1\end{array}\right.$滿足對任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，則a的取值范圍是$（1，\frac{7}{6}]$．

Answer 1

分析 由已知可得函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜1\\（7-a）x-4a，x≥1\end{array}\right.$為增函數(shù)，列出不等式組，解得答案．

解答 解：∵對任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，
∴函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜1\\（7-a）x-4a，x≥1\end{array}\right.$為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{7-a＞0}\\{a≤7-a-4a}\end{array}\right.$，
解得：a∈（1，$\frac{7}{6}$]，
故答案為：$（1，\frac{7}{6}]$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵．