8.對(duì)于正整數(shù)a,b,存在唯一一對(duì)整數(shù)q和r,使得a=bq+r,0≤r<b.特別地,當(dāng)r=0時(shí),稱b能整除a,記作b|a,已知A={1,2,3,4,5,…,23},若M⊆A,且存在a,b∈M,b<a,b|a,則稱M為集合A的“和諧集”.
(1)存在q∈A,使得2011=91q+r (0≤r<91),試求q,r的值;
(2)已知集合B={5,7,8,9,11,12,t}滿足B⊆A,但B不為“和諧集”,試寫出所有滿足條件的t值;
(3)已知集合C為集合A的有12個(gè)元素的子集,又m∈A,當(dāng)m∈C時(shí),無論C中其它元素取何值,C都為集合A的“和諧集”,試求滿足條件的m的最大值,并簡(jiǎn)要說明理由.

分析 (1)由于2011=91×22+9,可得q,r.
(2)集合B={5,7,8,9,11,12,t}滿足B⊆A,但B不為“和諧集”,經(jīng)過驗(yàn)證可得:所有滿足條件的t值為:13,17,19,23.
(3)當(dāng)m=8時(shí),記M={7+i|i=1,2,…,16},N={2(7+i)|i=1,2,3,4},記P=CMN,則card(P)=12,顯然對(duì)任意1≤i<j≤16,不存在n≥3,使得7+j=n(7+i)成立.故P是非“和諧集”,此時(shí)P={8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}.同樣的,當(dāng)m=9,10,11,12時(shí),存在含m的集合A的有12個(gè)元素的子集為非“和諧集”.因此m≤7.下面再證明:含7的任意集合A的有12個(gè)元素的子集為“和諧集”即可.

解答 解:(1)∵2011=91×22+9,∴q=22,r=9.
(2)集合B={5,7,8,9,11,12,t}滿足B⊆A,但B不為“和諧集”,經(jīng)過驗(yàn)證可得:
所有滿足條件的t值為:13,17,19,23.
(3)當(dāng)m=8時(shí),記M={7+i|i=1,2,…,16},N={2(7+i)|i=1,2,3,4}記P=CMN,則card(P)=12,顯然對(duì)任意1≤i<j≤16,不存在n≥3,使得7+j=n(7+i)成立.故P是非“和諧集”,此時(shí)P={8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}.同樣的,當(dāng)m=9,10,11,12時(shí),存在含m的集合A的有12個(gè)元素的子集為非“和諧集”.因此m≤7.
下面證明:含7的任意集合A的有12個(gè)元素的子集為“和諧集”.
設(shè)B={a1,a2,…,a11,7},若1,14,21中之一為集合B的元素,顯然為“和諧集”.
現(xiàn)考慮1,14,21都不屬于集合B,構(gòu)造集合B1={2,4,8,16},B2={3,6,12},B3={5,10,20},B4={9,18},B5={11,22},B'={13,15,17,19,23}.
以上B1,B2,B3,B4,B5每個(gè)集合中的元素都是倍數(shù)關(guān)系.考慮B'⊆B的情況,也即B'中5個(gè)元素全都是B的元素,B中剩下6個(gè)元素必須從B1,B2,B3,B4,B5這5個(gè)集合中選取6個(gè)元素,那么至少有一個(gè)集合有兩個(gè)元素被選,即集合B中至少有兩個(gè)元素存在倍數(shù)關(guān)系.
綜上所述,含7的任意集合A的有12個(gè)元素的子集B為“和諧集”,即m的最大值為7.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“和諧集”、分類討論思想方法、數(shù)的整除理論,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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