Question

設數列{a_n}滿足a₁＝2，a₂＋a₄＝8，且對任意n∈N^*，函數f(x)＝(a_n－a_n＋1＋a_n＋2)x＋a_n＋1cos x－a_n＋2sin x滿足f′＝0.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n＝2，求數列{b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

（1）n＋1.（2）S_n＝n²＋3n＋1－

(1)f′(x)＝(a_n－a_n＋1＋a_n＋2)－a_n＋1sin x－a_n＋2cos x，
又f′＝0，則a_n＋a_n＋2－2a_n＋1＝0，即2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2，
因此數列{a_n}為等差數列，設等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₁＝2，a₂＋a₄＝8，∴2a₁＋4d＝8，則d＝1，
a_n＝a₁＋(n－1)d＝n＋1.
(2)由(1)知，b_n＝2＝2(n＋1)＋，
因此S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n
＝2[2＋3＋…＋(n＋1)]＋
＝n(n＋3)＋1－，
故S_n＝n²＋3n＋1－