Question

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，CD的中點(diǎn)．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，得到

AF

與

CE

的坐標(biāo)，利用它們的夾角公式即可得到異面直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)求出平面ABCD與平面AEF的一個(gè)法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角的余弦值．

解答：解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
∴

AF

=(-2，1，0)，

CE

=(2，-1，2)．
∴cos＜

AF，

CE

＞=

-4-1

(-2)2+12 • 22+(-1)2+22

=-

5

3

，
故直線EC與AF所成角的余弦值為

5

3

．
（2）平面ABCD的一個(gè)法向量為

n1

=(0，0，1)．
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為

n2

=(x，y，z)，
∵

AF

=(-2，1，0)，

AE

=(0，1，2)，∴

-2x+y=0 y+2z=0

，
令x=1，則y=2，z=-1⇒

n2

=(1，2，-1)，
∴cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=|

-1

1+4+1

|=

6

6

．
由圖知二面角E-AF-B為銳二面角，其余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系、利用異面直線的方向向量的夾角公式即可得到異面直線EC與AF所成角的余弦值、利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的余弦值的方法是解題的關(guān)鍵．