Question

4．已知圓的方程為x²+y²-2x-2my+2m²-4m+1=0（m∈R）．
（1）當(dāng)該圓的半徑最長時(shí)，求m的值；
（2）在滿足（1）的條件下，若該圓的圓周上到直線l：2kx-2y+4+$\sqrt{3}$-3k=0的距離等于1的點(diǎn)有且只有3個(gè)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）圓的方程x²+y²-2x-2my+2m²-4m+1=0化為（x-1）²+（y-m）²=-m²+4m，當(dāng)-m²+4m＞0時(shí)表示圓，半徑最大時(shí)，-m²+4m取得最大值，求出對(duì)應(yīng)m的值；
（2）圓周上到直線l的距離等于1的點(diǎn)有且只有3個(gè)時(shí)，圓心到直線l的距離d=r-1，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）圓的方程x²+y²-2x-2my+2m²-4m+1=0可化為：
（x-1）²+（y-m）²=-m²+4m，
它表示圓時(shí)，應(yīng)有-m²+4m＞0，
解得0＜m＜4；
當(dāng)半徑最大時(shí)，應(yīng)有-m²+4m最大，
此時(shí)m=2，圓的方程為 x²+y²-2x-4y+1=0；
（2）圓的方程x²+y²-2x-4y+1=0，化為（x-1）²+（y-2）²=4；
該圓的圓周上到直線l：2kx-2y+4+$\sqrt{3}$-3k=0的距離等于1的點(diǎn)有且只有3個(gè)，
則圓心（1，2）到直線l的距離d等于半徑r-1，
即$\frac{|2k-2×2+4+\sqrt{3}-3k|}{\sqrt{{4k}^{2}+4}}$=1，
化簡得${（k-\sqrt{3}）}^{2}$=4k²+4，
解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的方程與應(yīng)用問題，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是綜合性題目．