Question

在空間直角坐標系O-xyz中（O為坐標原點），點A、B、C的坐標分別為A（3，0，2）、B（3，1，0）、C（-1，1，0）．給出以下四個命題：
①AB⊥BC；
②異面直線OA與BC所成角的余弦值為-

3 13

13

；
③四棱錐O-ABC的體積為

4

3

；
④空間中到點B和點C等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為x=1，其軌跡是一條直線．
其中你認為正確的所有命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：空間向量的數量積運算,共線向量與共面向量

專題：空間向量及應用

分析：①由

AB

=（0，1，-2），

BC

=（-4，0，0）．可得

AB

•

BC

=0，因此

AB

⊥

BC

；
②由

OA

•

BC

=-12，|

OA

|=

13

，|

BC

|=4，利用向量的夾角公式可得cos＜

OA

，

BC

＞=

OA • BC

| OA || BC |

，而異面直線OA與BC所成角為銳角或直角，不為鈍角；
③設平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =y-2z=0 n • BC =-4x=0

，可得

n

=（0，2，1）．而點O到平面ABC的距離h=

| n • OA |

| n |

=

2

5

．S_△ABC=

1

2

|

BA

|

BC

|．即可得出四棱錐O-ABC的體積V=

1

3

S△ABC•h；
④空間中到點B和點C等距離的動點P（x，y，z）的滿足|PB|=|PC|，利用兩點之間的距離公式可得軌跡方程為一個平面．

解答： 解：①∵

AB

=（0，1，-2），

BC

=（-4，0，0）．
∴

AB

•

BC

=0，∴

AB

⊥

BC

，∴AB⊥BC；
②∵

OA

•

BC

=-12，|

OA

|=

13

，|

BC

|=4，∴cos＜

OA

，

BC

＞=

OA • BC

| OA || BC |

=

-12

4 13

=-

3 13

13

．
∴異面直線OA與BC所成角的余弦值為

3 13

13

，因此不正確；
③設平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =y-2z=0 n • BC =-4x=0

，令y=2，解得z=1，x=0．∴

n

=（0，2，1）．
∴點O到平面ABC的距離h=

| n • OA |

| n |

=

2

5

．而S_△ABC=

1

2

|

BA

|

BC

|=

1

2

×

5

×4=2

5

．
∴四棱錐O-ABC的體積V=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×2

5

×

2

5

=

4

3

；
④空間中到點B和點C等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為

(x-3)2+(y-1)2+z2

=

(x+1)2+(y-1)2+z2

，化為x=1，其軌跡是有關平面．
綜上可得：其中正確的所有命題的序號為①③．
故答案為：①③．

點評：本題考查了空間向量坐標運算、向量夾角公式、向量垂直與數量積的關系、點到直線的距離公式、三棱錐的體積計算公式、兩點之間的距離公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．