Question

數(shù){a_n}滿足a1=

1

2

，an=an-1+

1

n2-1

（n≥2），則a_n的通項公式為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題干條件an=an-1+

1

n2-1

可知a_n-a_n-1=

1

n2-1

=

1

(n+1)(n-1)

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），即可求出數(shù)列a_n的通項公式．

解答：解：∵an=an-1+

1

n2-1

，
∴a_n-a_n-1=

1

n2-1

=

1

(n+1)(n-1)

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），
∴a_n-a₁=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

），
∴a_n=

5

4

-

2n+1

2n(n+1)

，
故答案為a_n=

5

4

-

2n+1

2n(n+1)

．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推式的知識點，解答本題的關(guān)鍵是利用列項相消進行求和，此題比較簡單．