Question

9．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≥0}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3}\end{array}\right.$，當目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取得最小值1時，則$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4+2$\sqrt{2}$
• C． 3+$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)可得2a+b=1，然后通過“1”的代換，利用基本不等式求最值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≥0}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1），
化目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$過B時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為2a+b=1．
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}$）（2a+b）=3+$\frac{2a}+\frac{4a}$$≥3+2\sqrt{\frac{2a}•\frac{4a}}=3+2\sqrt{2}$．
當且僅當b²=8a²，即a=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，b=2-$\sqrt{2}$時上式等號成立．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．