Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，首項為；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足，其中k為一個給定的正整數(shù)，
求證：當(dāng)n≤k時，恒有c_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）將題中已知條件化簡便可求出與的關(guān)系，進而求得a_n的通項公式；
（2）由（1）中求得的a_n的通項公式便可求出b_n的通項公式，進而寫出前n項和T_n的表達式，即可證明；
（3）根據(jù)題中已知條件可知c_n為遞增數(shù)列，然后證明ck＜1即可證明：當(dāng)n≤k時，恒有c_n＜1．
解答：解：（1）由已知可得：，
即（n≥2），
由累加法可求得：，
即，
又n=1也成立，
∴（4分）；
（2），
先證
由，
此式顯然成立，
∴（6分）
又b_n=，
∴=
即．
（3）由題意知：，
∴{C_n}為遞增數(shù)列
∴只需證：C_k＜1即可
若k=1，則顯然成立；
若k≥2，則，即，
因此，
∴
∴故n≤k時，恒有C_n＜1（14分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列與不等式的綜合，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．