Question

已知橢C：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上任意一點(diǎn)，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l是圓O：x²+y²=上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）（x-y≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，可得b=c，利用△PF₁F₂的周長為4，可得a+c=，從而可求橢圓的幾何量，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l方程與橢圓方程聯(lián)立，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，確定x₁x₂+y₁y₂=0，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：因?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以b=c，可得a=c，
又因?yàn)椤鱌F₁F₂的周長為4，所以a+c=，所以c=，
所以a=2，b=，所以所求橢圓C的方程為．       …（5分）
（Ⅱ）證明：直線的l方程為，且x²+y²=，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
聯(lián)立方程，消去y得（）x²-x+=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，…（8分）
∴=，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=+=0
∴∠QOR=90°為定值．                                            …（13分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．