已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=1-
a
x
(a為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)?(x)=f(x)-g(x)在定義域上的最小值;
(Ⅱ)若方程e2f(x)=g(x)在區(qū)間[
1
2
,1]
上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(
(2n+1)2
n(n+1)
)
,它的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn
3
4
n+
1
24
-
1
8(2n+3)
分析:(Ⅰ)我們易求出當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)φ(x)的解析式及其導(dǎo)函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)法,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最小值;
(Ⅱ)方程e2f(x)=g(x)在區(qū)間[
1
2
,1]上有解,可轉(zhuǎn)化為方程a=x-x3在區(qū)間[
1
2
,1]上有解,構(gòu)造函數(shù)h(x)利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域,即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)利用放縮法及裂項(xiàng)法,我們可以求出ak
3
4
+
1
8
1
2k+1
-
1
2k+3
),在進(jìn)行求和,從而進(jìn)行證明;
解答:解:(Ⅰ)a=1,代入g(x),定義域{x|x>0}
可得?(x)=f(x)-g(x)=lnx+
1
x
-1,(x>0),
?′(x)=
x-1
x2
,
當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0,f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x<1時(shí),f(x)<0,f(x)為減函數(shù);
?(x)在x=1處取得極小值,也是最小值,
?(x)min=?(1)=0;
(Ⅱ)方程e2f(x)=g(x),可得e2lnx=1-
a
x

可得a=x-x3求h(x)=x-x3,在區(qū)間[
1
2
,1]
上求最值問(wèn)題,
h′(x)=1-3x2,令h′(x)=0,可得x=
3
3
,
當(dāng)x>
3
3
時(shí),h′(x)<0,h(x)為減函數(shù);
當(dāng)0<x<
3
3
時(shí),h′(x)>0,h(x)為增函數(shù);
f(x)極大值=f(x)最大值=f(
3
3
)=
2
3
9
,
f(1)=0,f(
1
2
)=
3
8

∵方程e2f(x)=g(x)在區(qū)間[
1
2
,1]
上有解,
∴0≤h(x)≤
2
3
9

∴0≤a≤
2
3
9

(Ⅲ)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(
(2n+1)2
n(n+1)
)
,
可得an=ln
(2n+1)2
n(n+1)
,
∵由(1)可知,?(x)min=?(1)>0,即lnx>1-
1
x

ak>1-
4k2+4k+1
k(k+1)
=
3
4
+
1
4
1
(2k+1)2
3
4
+
1
4
1
(2k+1)(2k+3)
=
3
4
+
1
8
1
2k+1
-
1
2k+3
),
Sn=
n
k=1
ak
3
4
n+
1
8
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n+1
-
1
2n+3
)=
3
4
n+
1
8
(
1
3
-
1
2n+3
)
=
3
4
n+
1
24
-
1
8(2n+3)

即證;
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值,最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)在證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題,不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用,其中第一問(wèn)的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)法;第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)法,求出函數(shù)的最值,進(jìn)而得到函數(shù)的值域,而第三問(wèn)的關(guān)鍵是利用不等式證明的放縮法;
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過(guò)兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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