Question

12．已知過拋物線y²=4x焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點（點A在第一象限），若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，則直線l的方程為（　�。�

• A． x-2y-1=0
• B． 2x-y-2=0
• C． x-$\sqrt{3}$y-1=0
• D． $\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0

Answer 1

分析 作出拋物線的準線，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E．由拋物線的定義結(jié)合題中的數(shù)據(jù)，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°，即直線AB的傾斜角為60°，從而得到直線AB的斜率k值．

解答 解：作出拋物線的準線l：x=-1，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，
連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E．
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，∴設(shè)AF=3m，BF=m，由點A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得AC=3m，BD=m．
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°
所以，直線AB的傾斜角∠AFx=60°，
得直線AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$．
則直線l的方程為：y=$\sqrt{3}（x-1）$，即$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
故選：D．

點評 本題給出拋物線的焦點弦被焦點分成3：1的比，求直線的斜率k，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率等知識點，屬于中檔題．