Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段AD₁上的點(diǎn)，且滿足

D1P

=λ

PA

(λ＞0)．
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，求證：DP⊥平面ABC₁D₁；
（2）問當(dāng)λ變化時(shí)，三棱錐D-PBC₁的體積是否為定值；若是，求出其定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證DP⊥平面ABC₁D₁，用平面與平面垂直的性質(zhì)，即當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，其中一個(gè)平面上垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面，用正方體的性質(zhì)，可判斷當(dāng)λ=1時(shí)，平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，且兩平面交線為AD₁，利用正方形對(duì)角線互相垂直可證DP⊥AD₁，所以DP⊥平面ABC₁D₁． 
（2）三棱錐D-PBC₁可以把三角形PBC₁看成底面，D點(diǎn)為頂點(diǎn)，則三角形PBC₁的面積為BC₁的長(zhǎng)乘以1，為定值，D點(diǎn)到平面PBC₁的距離也為定值，所以三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值．

解答：解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，
又AB?ABC₁D₁，∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，
∵λ=1時(shí)，P為AD₁的中點(diǎn)，∴DP⊥AD₁，
又∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，DP?平面AA₁D₁D
∴DP⊥平面ABC₁D₁．      
（2）三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值．
∵AD₁∥BC₁，P為線段AD₁上的點(diǎn)，
∴三角形PBC₁的面積為定值，即S△PBC1=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
又∵CD∥平面ABC₁D₁，∴點(diǎn)D到平面PBC₁的距離為定值，即h=

2

2

，
∴三棱錐D-BPC₁的體積為定值，即VD-PBC1=

1

3

•S△PBC1•h=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．
也即無論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)證明線面垂直，以及三棱錐體積公式的應(yīng)用．