Question

已知函數(shù)f（x）=，a∈R
（I）求f（x）的極值；
（II）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（III）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求證：x₁+x₂＞x₁x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)等于0求出x的值，再根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定極值．
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在（0，+∞）上恒成立的問題，然后求函數(shù)的最大值，令k大于這個最大值即可．
（3）先判斷函數(shù)f（x）在（0，e）上的單調(diào)性，進而得到x₁，x₂的關(guān)系得證．
解答：解：（Ⅰ）∵，令f^/（x）=0得x=e^a
當x∈（0，e^a），f^/（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當x∈（e^a，+∞），f^/（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
可知f（x）有極大值為f（e^a）=e^-a
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)由（Ⅰ）知，，∴
（Ⅲ）∵e＞x₁+x₂＞x₁＞0，由上可知在（0，e）上單調(diào)遞增，
∴①，
同理②
兩式相加得ln（x₁+x₂）＞lnx₁+lnx₂=lnx₁x₂
∴x₁+x₂＞x₁x₂
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導函數(shù)之間的關(guān)系．導數(shù)是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．