Question

已知向量

a

=（

3

sinx，-

1

2

（cosx+sinx）），

b

=（cosx，cosx-sinx），f（x）=

a

•

b

+1（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）若A為等腰△ABC的一個底角，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到f（x）的解析式，化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式解答；
（2）利用（1）的解析式得到f（A），由A為等腰△ABC的一個底角，得到2A-

π

6

的范圍，從而求f（A）的范圍．

解答： 解：由已知，f（x）=

a

•

b

+1=

3

sinxcosx-

1

2

（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos²x
=

3

2

sin2x-

1

4

（1+cos2x）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

4

=sin（2x-

π

6

）-

1

4

，
（1）所以f（x）的最小正周期

2π

2

=π，最大值為1-

1

4

=

3

4

，最小值為-1-

1

4

=-

5

4

；
（2）A為等腰△ABC的一個底角，A＜

π

2

，則f（A）=sin（2A-

π

6

）-

1

4

，-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
所以-

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，所以A為等腰△ABC的一個底角，f（A）的取值范圍是（-

3

4

，

3

4

]．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．