Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+mlnx，其中m為常數(shù)．
（1）當(dāng)在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)．
（3）當(dāng)．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=（x-1）²+mlnx，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=2（x+1）+==（x＞0）
當(dāng)m時(shí)，可知f′（x）＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，令f'（x）=0得，，…（6分）
①當(dāng)m≤0時(shí)，，則，
列表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由此看出，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）有唯一極小值點(diǎn)．…（8分）
②當(dāng)時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1，
列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此看出，當(dāng)時(shí)，f（x）有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．
綜上，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）有唯一極小值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，f（x）有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．…（10分）
（3）由（2）知，m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時(shí)，函數(shù)f（x）有唯一極小值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在上是減函數(shù)，
∵n≥3時(shí)，，
∴，即
∴n≥3時(shí)，．
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），則
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵n≥3時(shí)，1，∴f（1），即
∴n≥3時(shí)，ln（n+1）-lnn
綜上，當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，不等式恒成立．
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，通過m，x＞0，可判導(dǎo)數(shù)為正，可推f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）對(duì)m進(jìn)行分類討論，分別依據(jù)極值的定義進(jìn)行分析，注意分類要做到不重不漏；
（3）要證明的問題即是當(dāng)m=-1時(shí)的函數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題為導(dǎo)數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，涉及分類討論的思想和極值的求解，屬中檔題．