Question

已知函數(shù)（R），為其導(dǎo)函數(shù)，且時(shí)有極小值．

（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若，，當(dāng)時(shí)，對于任意x，和的值至少有一個(gè)是正數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）若不等式（為正整數(shù)）對任意正實(shí)數(shù)恒成立，求的最大值．

 

Answer 1

(1)；(2)；（3）6.

【解析】

試題分析：（1）首先要求得的解析式，其中有兩個(gè)參數(shù)，已知條件告訴我們以及，由此我們把這兩個(gè)等式表示出來就可解得，然后解不等式即可得遞減區(qū)間；（2）由（1）可得，，由于，又，當(dāng)時(shí)，，因此此時(shí)已符合題意，當(dāng)時(shí)，也符合題意，而當(dāng)時(shí)，，因此我們只要求此時(shí)，是二次函數(shù)，圖象是開口方向向上的拋物線，故可采用分類討論方法求得的范圍，使；（3）不等式為，即，設(shè)，由恒成立，只要的最小值大于0即可，下面就是求的最小值，同樣利用導(dǎo)函數(shù)可求得，于是只要，變形為，作為的函數(shù)，可證明它在上是減函數(shù)，又，故可得的最大值為6.

（1）由，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有極小值，

所以，從而得， 2分

所求的，所以，

由解得，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為， 4分

（2）由，故，

當(dāng)m>0時(shí)，若x>0，則>0，滿足條件； 5分

若x=0，則>0，滿足條件； 6分

若x<0，

①如果對稱軸≥0，即0＜m≤4時(shí)，的開口向上，

故在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)x<0時(shí)，>0 8分

②如果對稱軸＜0，即4＜m時(shí)，

解得2<m<8，故4＜m <8時(shí)，>0；

所以m的取值范圍為（0，8）； 10分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719101989693823/SYS201411171910315849285982_DA/SYS201411171910315849285982_DA.062.png">，所以等價(jià)于

，即，

記，則，

由，得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以， 12分

對任意正實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于，即，

記，則，

所以在上單調(diào)遞減，又，

所以的最大值為． 16分

考點(diǎn)：（1）函數(shù)的極值，單調(diào)區(qū)間；（2）分類討論；（3）不等式恒成立與函數(shù)的最值及函數(shù)的單調(diào)性.