Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)．

（1）若對函數(shù)存在極小值，且極小值為0，求a的值；

（2）若對任意，不等式恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）（-∞，1]．

【解析】

試題分析：（1）對進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)a進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，由，可得，∴為函數(shù)的極小值點(diǎn)，由已知，，即，∴．（2）代入，即，構(gòu)造，則，

時(shí)，，則在時(shí)為增函數(shù)，∴．①，即時(shí)，，在時(shí)為增函數(shù)，∴，此時(shí)恒成立；②，即時(shí)，存在，使得，從而）時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，∴時(shí)，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．

試題解析：（1）∵，∴，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；

當(dāng)時(shí)，由，可得，由，可得，∴為函數(shù)的極小值點(diǎn)，

由已知，，即，∴； 5分

（2）不等式，即，

設(shè)，則，

時(shí)，，則在時(shí)為增函數(shù)，∴．

①，即時(shí)，，在時(shí)為增函數(shù)，∴，此時(shí)恒成立；

②，即時(shí)，存在，使得，從而）時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，

∴時(shí)，，不符合題意．

綜上，a的取值范圍是（-∞，1]． 12分

考點(diǎn)：1．函數(shù)極值、最值求解；2．恒成立問題．