Question

已知數(shù)列{a_n}滿足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，設(shè)b_n=a_n+n（n∈N*）．
（1）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求（+++…+）的值．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法及極限的運(yùn)算．
（1）由數(shù)列{a_n}滿足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，設(shè)b_n=a_n+n（n∈N*）．我們不難給出數(shù)列{b_n}的前若干項(xiàng)，并能由此歸納推理出數(shù)列的通項(xiàng)公式，但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們可以用數(shù)學(xué)歸納學(xué)進(jìn)行證明．
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列求和的裂項(xiàng)法，我們不難對(duì)（+++…+）進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出（+++…+）的值．
解答：解：（1）n=1時(shí)，由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），得a₁=1．
n=2時(shí)，a₂=6代入得a₃=15．同理a₄=28，
再代入b_n=a_n+n，有b₁=2，b₂=8，b₃=18，b₄=32，由此猜想b_n=2n²．
要證b_n=2n²，只需證a_n=2n²-n．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2×1²-1=1成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=2k²-k成立．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），得a_k+1=（a_k-1）
=（2k²-k-1）=（2k+1）（k-1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）²-（k+1）．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，a_n=2n²-n正確，從而b_n=2n²．
（2）（++…+）
=（++…+）
=[++…+]
=[1-+-+…+-]
=[1+--]
=．
點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們要利用數(shù)學(xué)歸納法等方法對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的論證．