Question

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

49

+

y2

24

=1有相同的焦點(diǎn)；
②在平面內(nèi)，設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且|PA|+|PB|=k，其中常數(shù)k為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-3x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過(guò)雙曲線x2-

y2

2

=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有且僅有3條．
其中真命題的序號(hào)為

①④

（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷①；
根據(jù)定義判斷②；
根據(jù)離心率的范圍判斷③；
根據(jù)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．有與右支兩個(gè)交點(diǎn)和左、右各一個(gè)交點(diǎn)兩種情況，
利用通徑長(zhǎng)判斷直線的條數(shù)即可．

解答：解：根據(jù)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)都是（±5，0），①正確；
根據(jù)橢圓的定義，當(dāng)k＞|AB|時(shí)是橢圓，∴②不正確；
解方程2x²-3x+1=0得兩根分別是

1

2

，1，根據(jù)雙曲線的離心率大于1，∴③不正確；
∵過(guò)右焦點(diǎn)垂直于x軸的直線與雙曲線的右支的交點(diǎn)為（

3

，±2），|AB|=4，
∴與右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線只有一條；
∵2a=2，∴過(guò)右焦點(diǎn)與雙曲線左、右支各一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足|AB|=4，有兩條直線k=±k₁，
∴④正確．
故答案是①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題．