已知.

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）若為常數(shù)，且，記，求的最小值.

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)及運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識，突出考查運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，是恒成立問題，先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，求的最值是本問的關(guān)鍵，法一，利用基本不等式求最值，法二，利用導(dǎo)數(shù)求最值，無論用哪種方法都應(yīng)注意函數(shù)的定義域；第二問，令，將進行轉(zhuǎn)化，化簡成的形式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求.

試題解析：（1）（解法一）

設(shè)，

∴，∴的最大值為.

（解法二）設(shè)，

，

∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴為極小值點，

∴，∴，∴的最大值為.

（2）設(shè)，則，則

令，則

即，

設(shè)，∵其對稱軸，

在上單調(diào)遞減，∴，

∴，.

考點：1.恒成立問題；2.基本不等式；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；4.二次函數(shù)的單調(diào)性和最值.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點（1，
1
3
）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列{an}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．記數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項和為Tn，
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若對任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時，不等式t2-2mt+
1
2
＞Tn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點，等比數(shù)列的前項

和為，數(shù)列的首項為1，且前項和滿足－=+

（）.記數(shù)列{前項和為，

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）若對任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[1,1]時，不等式t2+2mt+>恒成立，求實數(shù)t的取值范圍

(3)是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：安徽省模擬題 題型：解答題

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在an與a n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列（如：在a1與a2之間插入1個數(shù)構(gòu)成第一個等差數(shù)列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個數(shù)構(gòu)成第二個等差數(shù)列，其公差為d2，…以此類推），設(shè)第n個等差數(shù)列的和是An．是否存在一個關(guān)于n的多項式g（n），使得An=g（n）dn對任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由；
（3）對于（2）中的數(shù)列d1，d2，d3，…，dn，…，這個數(shù)列中是否存在不同的三項dm，dk，dp（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)設(shè)函數(shù)f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b處分別取得極大值和極小值，連接函數(shù)圖像上A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點．

(1)求實數(shù)t的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)t，使得線段AB(包括兩端點)與直線x=1相交?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

(文)已知函數(shù)f(x)=mx3-x的圖像上，以N(1，n)為切點的切線的傾斜角為．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)≤k-1991對于x∈[-1，3]恒成?如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由。

(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年上海市十三校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列（如：在a1與a2之間插入1個數(shù)構(gòu)成第一個等差數(shù)列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個數(shù)構(gòu)成第二個等差數(shù)列，其公差為d2，…以此類推），設(shè)第n個等差數(shù)列的和是An．是否存在一個關(guān)于n的多項式g（n），使得An=g（n）dn對任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由；
（3）對于（2）中的數(shù)列d1，d2，d3，…，dn，…，這個數(shù)列中是否存在不同的三項dm，dk，dp（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

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