Question

過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的位置關(guān)系是（　�。�

A．相離

B．相切

C．相交

D．不確定

Answer 1

分析：設(shè)拋物線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)拋物線(xiàn)：y²=2px（p＞0 ），過(guò)焦點(diǎn)的弦為PQ，PQ的中點(diǎn)是M且到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是d．設(shè)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d₂=|QF|．結(jié)合中位線(xiàn)的定義與拋物線(xiàn)的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑，進(jìn)而得到答案．

解答：解：不妨設(shè)拋物線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)拋物線(xiàn)：y²=2px （p＞0 ），即拋物線(xiàn)位于Y軸的右側(cè)，以X軸為對(duì)稱(chēng)軸．
設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦為PQ，PQ的中點(diǎn)是M，M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是d．
而P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d₂=|QF|．
又M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d是梯形的中位線(xiàn)，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由拋物線(xiàn)的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑．
所以圓心M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于半徑，
所以圓與準(zhǔn)線(xiàn)是相切．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線(xiàn)的定義，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定．