Question

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線的方程為

   （I）求拋物線S的方程；

   （II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線S上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足.試說(shuō)明動(dòng)直線PQ是否過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

解：(I) 設(shè)拋物線S的方程為   顯然                             

由 可得                                

由，有，或

設(shè)則

                  

設(shè)，由的重心為則，

∵點(diǎn)A在拋物線S上，∴  ∴                           

∴拋物線S的方程為                                                       

   （II）當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線方程為，顯然  

設(shè)，∵，∴

∴ ∴                                         

將代入拋物線方程，得∴

從而∴

∵，∴∴動(dòng)直線方程為，

此時(shí)動(dòng)直線PQ過(guò)定點(diǎn)                                           

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，顯然軸，又，

∴△POQ為等腰直角三角形.

由 得到，此時(shí)直線PQ亦過(guò)點(diǎn).

綜上所述，動(dòng)直線PQ過(guò)定點(diǎn).