Question

已知向量

m

=(cosα-

2

3

，-1)，

n

=(sinα，1)，

m

與

n

為共線向量，且α∈[-π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求

sin2α

sinα-cosα

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可求得sinα+cosα；
（Ⅱ）利用二倍角的正弦與平方運(yùn)算可求得sin2α=-

7

9

，（sinα-cosα）²=

16

9

，進(jìn)一步分析知，α∈[-

π

2

，0]，sinα-cosα＜0，從而可求sinα-cosα=-

4

3

，繼而可求

sin2α

sinα-cosα

．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

與

n

為共線向量，
∴（cosα-

2

3

）•1-（-1）•sinα=0，
∴sinα+cosα=

2

3

．
（Ⅱ）∵1+sin2α=（sinα+cosα）²=

2

9

，
∴sin2α=-

7

9

，
∴（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=

2

9

-2×（-

7

9

）=

16

9

．
又∵α∈[-π，0]，
sinα•cosα＜0，
∴α∈[-

π

2

，0]，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα=-

4

3

．
∴

sin2α

sinα-cosα

=

7

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，著重考查二倍角的正弦，考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．