Question

（2009•金山區(qū)一模）已知點A（-1，0），點B （1，0），點P（x+1，y）在x軸的下方，設a=

PA

•

PB

，b=

AP

•

AB

，c=

BP

•

BA

，d=|

AB

|，且

.

a b c d

.

=0．
（1）求a、b、c關于x、y的表達式；
（2）求y關于x的函數關系式y(tǒng)=f（x），并求當y取得最小值時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為

PA

=（-x-2，-y），

PB

=（-x，-y），

AP

=（x+2，y），

AB

=（2，0），

BP

=（x，y），

BA

=（-2，0），由此能求出a、b、c關于x、y的表達式．
（2）因為

.

a b c d

.

=0，所以3x²+y²+6x=0，由于點P（x+1，y）在x軸的下方，所以y=-

-3x2-6x

，（-2＜x＜0），y=-

-3x2-6x

=-

-3(x+1)2+3

，（-2＜x＜0）．由此能求出當y取得最小值時P點的坐標．

解答：解：（1）因為

PA

=（-x-2，-y），

PB

=（-x，-y），
所以a=

PA

•

PB

=x²+y²+2x，…（2分）

AP

=（x+2，y），

AB

=（2，0），b=

AP

•

AB

=2x+4，…（3分）

BP

=（x，y），

BA

=（-2，0），c=

BP

•

BA

=-2x，…（4分）
d=|

AB

|=2，…（5分）
（2）因為

.

a b c d

.

=0，所以2（x²+y²+2x）-（2x+4）（-2x）=0，即：3x²+y²+6x=0，…（7分）
由于點P（x+1，y）在x軸的下方，所以y=-

-3x2-6x

，（-2＜x＜0）
y=-

-3x2-6x

=-

-3(x+1)2+3

，（-2＜x＜0）…（10分）
所以當x=-1時，y_min=-

3

，此時P（0，-

3

）…（12分）

點評：本題考查矩陣現向量乘法的意義和應用，解題時要認真審題，注意平面向量的數量積公式的靈活運用．