根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點;
(2)過點P(2,-4);
(3)拋物線的焦點在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點A,|AF|=5.
【答案】
分析:(1)首先求出雙曲線16x
2-9y
2=144的左頂點;進(jìn)而根據(jù)拋物線是雙曲線的左定點,求得p,進(jìn)而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)先設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y
2=mx,把點p代入方程,求得m進(jìn)而的出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y
2=2px和點A(m,-3),根據(jù)拋物線的定義可求出m,進(jìn)而求p得出拋物線的方程.
解答:解:(1)雙曲線方程化為
-
=1,左頂點為(-3,0),由題意設(shè)拋物線方程為y
2=-2px(p>0)且
=-3,
∴p=6,
∴方程為y
2=-12x.
(2)由于P(2,-4)在第四象限且拋物線的對稱軸為坐標(biāo)軸,可設(shè)方程為y
2=mx或x
2=ny.
代入P點坐標(biāo)求得m=8,n=-1,
∴所求拋物線方程為y
2=8x或x
2=-y.
(3)設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線方程為
y
2=2px(p≠0),A(m,-3),
由拋物線定義得5=|AF|=|m+
|.
又(-3)
2=2pm,
∴p=±1或p=±9,
故所求拋物線方程為y
2=±2x或y
2=±18x.
點評:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題.常利用待定系數(shù)法和定義法求得標(biāo)準(zhǔn)方程.