Question

已知橢圓 的離心率為，過的左焦點的直線被圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設的右焦點為，在圓上是否存在點，滿足，若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）;若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）圓上存在兩個不同點，滿足..

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、點到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標準方程、兩個圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力，考查學生的數形結合思想.第一問，利用直線方程得到橢圓的左焦點坐標，再結合離心率，得到橢圓的標準方程；第二問，利用點到直線的距離求出圓心到直線的距離，由已知弦長為，則由垂徑定理得到圓的半徑，從而得到圓的標準方程，利用兩點間的距離公式得到和，代入已知中，得到P點的軌跡方程為圓，利用兩個圓的位置關系判斷兩個圓相交，所以存在點P.

因為直線的方程為，

令，得，即 1分

∴ ，又∵，

∴ ，

∴ 橢圓的方程為. ４分

（2）∵ 圓心到直線的距離為，

又直線被圓截得的弦長為，

∴由垂徑定理得，

故圓的方程為. ８分

設圓上存在點，滿足即，

且的坐標為，

則， 整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。

∴ １２分

故有，即圓與圓相交，有兩個公共點。

∴圓上存在兩個不同點，滿足. １４分

考點：橢圓的標準方程、點到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標準方程、兩個圓的位置關系.