Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作傾斜角為

π

3

的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，則|AB|=

16

3

．

Answer 1

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程：y=

3

(x-1)，與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長(zhǎng)的公式，可以求出線段AB的長(zhǎng)度．

解答：解：根據(jù)拋物線y²=4x方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan

π

3

=

3

由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB：y=

3

(x-1)
將直線方程代入到拋物線方程當(dāng)中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：

x1+x2= 10 3 x1x2=1

所以弦長(zhǎng)|AB|=

1+k2

|x1-x2|  =

1+3

(x1+x2) 2-4x1x2

=

16

3

故答案為

16

3

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題，屬于難題．本題運(yùn)用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對(duì)運(yùn)算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．