Question

如圖為函數(shù)f（x）=

2x

x2+1

的部分圖象，ABCD是矩形，A，B在圖象上，將此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為（　　）

• A、π
• B、2π
• C、3π
• D、4π

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先求出y的范圍，再設(shè)出點(diǎn)AB的坐標(biāo)，根據(jù)AB兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得到x₂•x₁=1，再求出高h(yuǎn)，根據(jù)圓柱體的體積公式得到關(guān)于y的代數(shù)式，最后根據(jù)基本不等式求出體積的最大值．

解答： 解：∵f（x）=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

=y≤1當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴x+

1

x

=

2

y

∵矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體一個(gè)圓柱，
設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，y），
則圓柱的底面圓的半徑為y，高位h=x₂-x₁，
∵f（x₁）=

2x1

x12+1

，f（x₂）=

2x2

x22+1

，
∴

2x1

x12+1

=

2x2

x22+1

，
即（x₂-x₁）（x₂•x₁-1）=0，
∴x₂•x₁=1，
∴h²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=(x1+

1

x1

)2-4=

4

y2

-4，
∴h=2•

1-y2

y

，
∴V_圓柱=πy²•h=2π

y2•(1-y2)

≤2π•

y2+1-y2

2

=π，當(dāng)且僅當(dāng)y=

2

2

時(shí)取等號(hào)，
故此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為π，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾何體的體積計(jì)算，基本的不等式的應(yīng)用，本題求出x₂•x₁=1是關(guān)鍵，屬于中檔題．