Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

，且過點(diǎn)（4，-

10

）．點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）求證：

MF1

•

MF2

=0；
（3）求△F₁MF₂面積．

Answer 1

分析：（1）雙曲線方程為x²-y²=λ，點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出

MF1

•

MF2

的解析式，把點(diǎn)M（3，m）代入雙曲線，可得出

MF1

•

MF2

=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．

解答：解：（1）∵e=

2

，∴可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ．
∵過點(diǎn)（4，-

10

），∴16-10=λ，即λ=6．
∴雙曲線方程為x²-y²=6．
（2）證明：∵

MF1

=（-3-2

3

，-m），

MF2

=（2

3

-3，-m），
∴

MF1

•

MF2

=（3+2

3

）×（3-2

3

）+m²
=-3+m²，
∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9-m²=6，即m²-3=0，
∴

MF1

•

MF2

=0．
（3）△F₁MF₂的底|F₁F₂|=4

3

，由（2）知m=±

3

．
∴△F₁MF₂的高h(yuǎn)=|m|=

3

，∴S△F₁MF₂=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、2個(gè)向量的數(shù)量積、雙曲線的性質(zhì)．