Question

AB是橢圓中不平行于對稱軸的一條弦，M是AB的中點，O是橢圓的中心，求證：k_AB•k_OM為定值．

Answer 1

【答案】分析：設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂，的表達式，根據(jù)直線方程求得y₁+y₂的表達式，進而根據(jù)點M為AB的中點，表示出M的橫坐標和縱坐標，求得直線OM的斜率，進而代入k_AB•k_OM中求得結(jié)果為定值，原式得證．
解答：證明：設直線為：y=kx+c
聯(lián)立橢圓和直線消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-
所以，M點的橫坐標為：M_x=（x₁+x₂）=-
又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=
所以，點M的縱坐標M_y=（y₁+y₂）=
所以：Kom===-
所以：
k_AB•k_OM=k×=
點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及弦長問題，利用弦長公式及韋達定理求解，涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便．