拋物線C1的方程是(y-2)2=-8(x+2),曲線C2與C1關(guān)于點(-1,1)對稱.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)過點(8,0)的直線l交曲線C2于M、N兩點,問在坐標(biāo)平面上能否找到某個定點Q,不論直線l如何變化,總有∠MQN=90°.若找不到,請說明理由;若能找到,寫出滿足要求的所有的點Q的坐標(biāo).
分析:(Ⅰ)拋物線C1的方程是(y-2)2=-8(x+2),由曲線C2與C1關(guān)于點(-1,1)對稱.設(shè)拋物線C1上任意一點(x,y)在曲線C2上的對稱點為M(m,n),則有:
x+m
2
=-1
,
y+n
2
=1
,由此能求出C2的方程.
(Ⅱ)設(shè)過點(8,0)的直線l的方程為y=k(x-8),M(x1,y1),N(x2,y2),由
y2=8x
y=k(x-8)
,得k2x2-(16k2+8)x+64k2=0,由此解得x1x2+y1y2=0.所以在坐標(biāo)平面上能定點Q(0,0),不論直線l如何變化,總有∠MQN=90°.
解答:解:(Ⅰ)拋物線C1的方程是(y-2)2=-8(x+2),
∵曲線C2與C1關(guān)于點(-1,1)對稱.
設(shè)拋物線C1上任意一點(x,y)在曲線C2上的對稱點為M(m,n),
則有:
x+m
2
=-1
,
y+n
2
=1

整理可得:x=-(2+m);y=2-n,代入拋物線C1得:
(2-n-2)2=-8(-2-m+2),
整理得:(-n)2=-8(-m),
n2=8m,
因此C2的方程是y2=8x.
(Ⅱ)存在,僅一點(0,0).
設(shè)過點(8,0)的直線l的方程為y=k(x-8),M(x1,y1),N(x2,y2),
y2=8x
y=k(x-8)
,得k2x2-(16k2+8)x+64k2=0,
x1+x2=
16k2+8
k2
,x1x2=64,
∴y1y2=(kx1-8k)(kx2-8k)
=k2x1x2-8kx2-8kx1+64k2
=-64,
∴x1x2+y1y2=0.
∴在坐標(biāo)平面上能定點Q(0,0),不論直線l如何變化,總有∠MQN=90°.
點評:本題考查曲線方程的求法,考查滿足要求的所有的點Q的坐標(biāo)的求示.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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已知拋物線C1的頂點在坐標(biāo)原點,它的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一個焦點F1且垂直于C2的兩個焦點所在的軸,若拋物線C1與雙曲線C2的一個交點是M(
2
3
,
2
6
3
)

(1)求拋物線C1的方程及其焦點F的坐標(biāo);
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