Question

已知點F₁，F(xiàn)₂為雙曲線的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點到兩條漸近線的距離分別為d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
（3）過圓O上任意一點P（x₀，y₀）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，求的值．

Answer 1

解：（1）設F₂，M的坐標分別為
因為點M在雙曲線C上，所以，即，所以
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，，所以
由雙曲線的定義可知：
故雙曲線C的方程為：
（2）由條件可知：兩條漸近線分別為
設雙曲線C上的點Q（x₀，y₀），
則點Q到兩條漸近線的距離分別為
所以
因為Q（x₀，y₀）在雙曲線C：上，所以
故
（3）解一：因為P（x₀，y₀）為圓O：x²+y²=2上任意一點，設
所以切線l的方程為：
代入雙曲線C：2x²-y²=2=（xcosα+ysinα）²
兩邊除以x²，得
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則是上述方程的兩個根
由韋達定理知：，即x₁x₂+y₁y₂=0
所以
解二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：x₀x+y₀y=2
①當y₀≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：
所以：
又
所以
②當y₀=0時，易知上述結論也成立．
所以
分析：（1）設F₂，M的坐標，利用點M在雙曲線C上，∠MF₁F₂=30°，可得，利用雙曲線的定義，可得雙曲線C的方程；
（2）先確定兩條漸近線方程，設雙曲線C上的點Q（x₀，y₀），求出點Q到兩條漸近線的距離，結合Q（x₀，y₀）在雙曲線C上，即可求d₁•d₂的值；
（3）解一：利用圓的參數(shù)方程設P的坐標，求出切線l的方程代入雙曲線，兩邊除以x²，再利用韋達定理，即可得到結論；
解二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：x₀x+y₀y=2代入雙曲線C中，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積，可得結論．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，考查圓的切線方程，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．