Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x²-2x，若對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)，
∴（x＞0）．
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即，
解得．
（Ⅱ）（x＞0）．
①當(dāng)a≤0時，x＞0，ax-1＜0，
在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），
單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
②當(dāng)時，，
在區(qū)間（0，2）和上，f'（x）＞0；
在區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和，單調(diào)遞減區(qū)間是
③當(dāng)時，，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
④當(dāng)時，，在區(qū)間和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．
由已知，g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知，
①當(dāng)時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故f（x）_max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，
故．
②當(dāng)時，f（x）在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
故．
由可知，
2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，
綜上所述，a＞ln2-1．
分析：（Ⅰ）由函數(shù)，知（x＞0）．由曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，能求出a的值．
（Ⅱ）（x＞0）．根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價于在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的最大值與最小值問題中的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．易錯點(diǎn)是分類不清導(dǎo)致致出錯，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．