Question

已知函數(shù)，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，把a(bǔ)=2代入可得，f'（1）=-2，由點(diǎn)斜式可寫(xiě)直線(xiàn)的方程，化為一般式即可；
（Ⅱ）由△=8a，分a≤0，當(dāng)a＞0兩大類(lèi)來(lái)判斷，其中當(dāng)a＞0時(shí)，又需分0＜a≤2，2＜a＜8，a≥8，三種情形來(lái)判斷，綜合可得答案．
解答：（Ⅰ）解：f（x）的定義域?yàn)镽，且 f'（x）=2x²-4x+2-a，當(dāng)a=2時(shí)，，f'（1）=-2，
所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為 ，即 6x+3y-5=0．（4分）
（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判別式為△=（-4）²-4×2×（2-a）=8a．
（�。┊�(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[2，3]
上的最小值是；最大值是f（3）=7-3a．
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得 ，或．f（x）和f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．
①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，x₂≤2，此時(shí)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[2，3]
上的最小值是；最大值是f（3）=7-3a．
②當(dāng)2＜a＜8時(shí)，x₁＜2＜x₂＜3，此時(shí)f（x）在區(qū)間（2，x₂）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x₂，3）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是 ．
因?yàn)?nbsp;，
所以 當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值是f（3）=7-3a；當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值是．
③當(dāng)a≥8時(shí)，x₁＜2＜3≤x₂，此時(shí)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是f（3）=7-3a；最大值是．
綜上可得，
當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是，最大值是7-3a；
當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是，最大值是7-3a；
當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是，最大值是；
當(dāng)a≥8時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是7-3a，最大值是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，涉及切線(xiàn)方程問(wèn)題，屬中檔題．