Question

17．如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，$BE⊥AD，BC=3，AD=15，BE=3\sqrt{3}$．把△ABE沿BE折起，使得$AC=6\sqrt{2}$，得到四棱錐A-BCDE．如圖2所示．

（1）求證：面ACE⊥面ABD；
（2）求平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AE⊥EC，AE⊥BD，CE⊥BD，從而BD⊥面ACE，由此能證明面ABD⊥面ACE．
（2）設(shè)EC∩BD=O，過點(diǎn)O作OF∥AE交AC于點(diǎn)F，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-BCF，利用向量法能求出平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）在等腰梯形ABCD中BC=3，AD=15，BE⊥AD，可知AE=6，DE=9．
因?yàn)?BC=3，BE=3\sqrt{3}，BE⊥AD$，可得CE=6．
又因?yàn)?AE=6，AC=6\sqrt{2}$，即AC²=CE²+AE²，則AE⊥EC．
又BE⊥AE，BE∩EC=E，可得AE⊥面BCDE，故AE⊥BD．
又因?yàn)?tan∠DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{9}{{3\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$，
則∠DBE=60°，$tan∠BEC=\frac{BC}{BE}=\frac{3}{{3\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則∠BEC=30°，
所以CE⊥BD，
又AE∩EC=E，所以BD⊥面ACE，
又BD?面ABD，所以面ABD⊥面ACE；
解：（2）設(shè)EC∩BD=O，過點(diǎn)O作OF∥AE交AC于點(diǎn)F，
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-BCF．
在△BCE中，∵∠BEO=30°，BO⊥EO，
∴$EO=\frac{9}{2}，CO=\frac{3}{2}，BO=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，則$B（{\frac{{2\sqrt{3}}}{2}，0，0}），C（{0，\frac{3}{2}，0}），E（{0，-\frac{9}{2}，0}）$，
∵$FO∥AE，F(xiàn)O=\frac{1}{2}AE，AE=6$，
∴FO=3，則$F（{0，0，3}），A（{0，-\frac{9}{2}，6}）$，
∵DE∥BC，DE=9，∴$\overrightarrow{ED}=3\overrightarrow{BC}$，∴$D（{-\frac{{9\sqrt{3}}}{2}，0，0}）$，
∴$\overrightarrow{BE}=（{\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{9}{2}，0}），\overrightarrow{AE}=（{0，0，6}），\overrightarrow{CA}=（{0，-6，6}），\overrightarrow{CD}=（{-\frac{{9\sqrt{3}}}{2}，-\frac{3}{2}，0}）$，
設(shè)平面ABE的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=6{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}_{1}+\frac{9}{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${x_1}=\sqrt{3}$，可得平面ABE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CA}=-6{y}_{2}+6{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CD}=-\frac{9\sqrt{3}}{2}{x}_{2}-\frac{3}{2}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取x₂=1，可得平面ABE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-3$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面ABE與平面ACD所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{55}}$=$\frac{2\sqrt{165}}{55}$，
所以平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{165}}}{55}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．