Question

設(shè)數(shù)列{a_n}（n∈N）滿足a₀=0，a₁=2，且對(duì)一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) Tn=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2得，數(shù)列a_n+1-a_n為等差數(shù)列，且首項(xiàng)a₁=2，公差為2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．（2）由

1

(n+2)an

=

1

n(n+1)(n+1)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，知Tn=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

++

1

(n+2)an

=

1

2

×[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)++(

1

n×(n+1)

-

1

(n+1)×(n+2)

)]=

1

2

×[

1

1×2

-

1

(n+1)×(n+2)

]=

1

4

-

1

2(n+1)×(n+2)

＜

1

4

，由此能求出T_n的取值范圍．

解答：解：（1）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2可得：
數(shù)列a_n+1-a_n為等差數(shù)列，且首項(xiàng)a₁-a₀=2-0=2，公差為2（3分）
∴a_n-a_n-1=（a₁-a₀）+2（n-1）=2+2（n-1）=2n（4分）
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=2+4+6++2n=

n(2+2n)

2

=n(n+1)（6分）
（2）由（1）可知：

1

(n+2)an

=

1

n(n+1)(n+1)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]（7分）
∴Tn=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

++

1

(n+2)an

=

1

2

×[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)++(

1

n×(n+1)

-

1

(n+1)×(n+2)

)]=

1

2

×[

1

1×2

-

1

(n+1)×(n+2)

]=

1

4

-

1

2(n+1)×(n+2)

＜

1

4

（10分）
易知：T_n在n∈N^*時(shí)，單調(diào)遞增，∴Tn≥T1=

1

6

（11分）
∴

1

6

≤Tn＜

1

4

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意遞推公式的合理運(yùn)用．